2.459. Докажите, что диагонали разбивают параллелограмм на четыре равновеликих треугольника.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO = OC и BO = OD.

Треугольники AOB и BOC имеют равные основания AO и OC на одной прямой и общую высоту из B, поэтому их площади равны. Аналогично, треугольники COD и DOA имеют равные площади.

Кроме того, треугольники AOB и COD равновелики: их основания AO и OC равны, а высоты из B и D к прямой AC равны, поскольку BD параллельно само себе и B, D лежат по разные стороны от AC на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей. Следовательно, площади всех четырёх треугольников равны.

Ответ: диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника.