2.460. Точки M и N — соответственно середины противоположных сторон AB и CD параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1. Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечениями прямых AN, BN, CM и DM.

Введём аффинные координаты: A = (0; 0), B = (1; 0), D = (0; 1), C = (1; 1). В этих координатах площадь ABCD равна 1. Тогда M = (1/2; 0), N = (1/2; 1).

Пересечения соседних прямых образуют вершины искомого четырёхугольника:

• AN и CM: (1/3; 2/3);
• CM и BN: (2/3; 2/3);
• BN и DM: (2/3; 1/3);
• DM и AN: (1/3; 1/3).

Полученный четырёхугольник — параллелограмм. Его стороны в выбранных координатах параллельны сторонам ABCD, а длины составляют по 1/3 соответствующих сторон. Поэтому его площадь составляет 1/9 площади ABCD.

Ответ: 1/9.