2.65 Найдите все числа x, для каждого из которых (x − 1)(x − 3)(x − 5) = 0. Изобразите эти числа на координатной оси. Определите знак произведения (x − 1)(x − 3)(x − 5) на каждом из полученных интервалов. Укажите все значения x, для которых: а) (x − 1)(x − 3)(x − 5) > 0; б) (x − 1)(x − 3)(x − 5) < 0.

Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель: \(x-1=0\), \(x-3=0\) или \(x-5=0\). Поэтому нули выражения: \(1, 3, 5\).

На числовой оси эти точки разбивают прямую на интервалы:

Все корни простые, поэтому при переходе через каждый корень знак произведения меняется. На интервалах \((-infty,1)\), \((1,3)\), \((3,5)\), \((5,+\infty)\) знаки соответственно: минус, плюс, минус, плюс.

а) Положительное произведение получается при \(x\in(1,3)\cup(5,+\infty)\).

б) Отрицательное произведение получается при \(x\in(-\infty,1)\cup(3,5)\).

Ответ: а) \((1,3)\cup(5,+\infty)\); б) \((-infty,1)\cup(3,5)\).