2. а) Определите, является ли число 3 корнем многочлена P(x) = x⁵ − 4x⁴ + 7x² + 11x − 15. б) Найдите остаток от деления многочлена −8x³ + 14x² + 3x на двучлен −4x + 1.

а) Подставим 3 в многочлен:

P(3) = 3⁵ − 4 · 3⁴ + 7 · 3² + 11 · 3 − 15 = 243 − 324 + 63 + 33 − 15 = 0.

Число является корнем, поскольку значение многочлена при x = 3 равно нулю.

б) По теореме об остатке при делении на −4x + 1 остаток равен значению многочлена в корне делителя: −4x + 1 = 0, откуда x = 1/4.

R = −8 · (1/4)³ + 14 · (1/4)² + 3 · (1/4) = −1/8 + 7/8 + 3/4 = 3/2.

Ответ: а) да; б) 3/2.