2. а) Определите, является ли число 3 корнем многочлена \(P(x)=x^5-4x^4+7x^3+11x-15\). (6 баллов) б) Найдите остаток от деления многочлена \(-8x^3+14x^2+3x\) на двучлен \(-4x+1\). (1 балл)

а) Подставим \(x=3\):

\(P(3)=3^5-4\cdot3^4+7\cdot3^3+11\cdot3-15=243-324+189+33-15=126\).

Так как \(P(3)\ne0\), число 3 не является корнем многочлена.

б) По теореме об остатке остаток равен значению многочлена в корне делителя. Корень двучлена \(-4x+1\): \(x=\frac14\).

\(R=-8\left(\frac14\right)^3+14\left(\frac14\right)^2+3\cdot\frac14=-\frac18+\frac78+\frac34=\frac32\).

Ответ: а) нет; б) \(\frac32\).