2. а) Решите уравнение \(1-\sin x=\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\). б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \([1;\sqrt5]\).

Используем тождество \(\sin^2 u=\frac{1-\cos 2u}{2}\):

\(\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{2}=\frac{1-\sin x}{2}\).

Тогда \(1-\sin x=\frac{1-\sin x}{2}\), откуда \(1-\sin x=0\). Значит, \(\sin x=1\), и \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

На отрезке \([1;\sqrt5]\) из этих корней лежит \(\frac{\pi}{2}\): он принадлежит отрезку, а ближайшие остальные корни находятся вне него.

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{\pi}{2}\).