Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. а) Решите уравнение \((2\cos^2 x+\sin x-2)\sqrt{17 g x}=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…Фото задания

Ответ:

Область определения: \( g x\) должна быть определена и \(17 g x\ge0\), то есть \(\cos x\ne0\) и \( g x\ge0\).

Произведение равно нулю, если нулевой хотя бы один множитель.

  1. \(\sqrt{17 g x}=0\) даёт \( g x=0\), откуда \(x=\pi k\).
  2. Приравняем к нулю первый множитель. Подставляя \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\), получаем \(2(1-\sin^2 x)+\sin x-2=0\), то есть \(\sin x(1-2\sin x)=0\). Случай \(\sin x=0\) уже учтён. Из \(\sin x=\frac12\) получаем \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\). Условию области определения \( g x\ge0\) удовлетворяет первая серия; во второй тангенс отрицателен.

Итак, все корни: \(x=\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

На отрезке \([\pi;\frac{5\pi}{2}]\) это \(\pi\), \(2\pi\) и \(\frac{13\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(\pi,\ 2\pi,\ \frac{13\pi}{6}\).