5. Решите уравнение \(\cos^3 x+\sin^3 x=\cos x\).

Разложим сумму кубов: \(\cos^3 x+\sin^3 x=(\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)\).

Переносим правую часть влево и выносим \(\sin x\):

\((\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)-\cos x=0\), поэтому \(\sin x[1-\cos x(\sin x+\cos x)]=0\).

Первый случай: \(\sin x=0\), значит, \(x=\pi k\).

Во втором случае \(\cos x(\sin x+\cos x)=1\), то есть \(\cos^2 x+\sin x\cos x=1\). С учётом \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\) это равносильно \(\sin x(\cos x-\sin x)=0\). Вне уже учтённого случая получаем \(\cos x=\sin x\), откуда \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\).

Ответ: \(x=\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).