4. Решите уравнение \(\sin x+1{,}5\ctg x=0\).

Область определения: \(\sin x\ne0\). Умножим уравнение на \(\sin x\):

\(\sin^2 x+1{,}5\cos x=0\).

Подставим \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\(1-\cos^2 x+1{,}5\cos x=0\), откуда \(\cos^2 x-1{,}5\cos x-1=0\).

Корни квадратного уравнения: \(\cos x=2\) и \(\cos x=-\frac12\). Значение \(2\) невозможно, поэтому \(\cos x=-\frac12\). Получаем \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Эти значения удовлетворяют области определения.

Ответ: \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).