2. ABCD — квадрат, MA = MB = MC = MD = 10, AB = 6√2. Найдите d(M, AB).

Решение:

Так как ABCD — квадрат, то AB = BC = CD = DA = 6√2. Диагонали квадрата равны: AC = BD = AB√2 = 6√2 * √2 = 12.

Точка M равноудалена от вершин квадрата (MA=MB=MC=MD=10). Следовательно, проекция точки M на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата O (точка пересечения диагоналей).

Найдем расстояние от точки M до стороны AB. Так как M равноудалена от всех сторон квадрата, то проекция M на плоскость ABCD — центр квадрата O. Расстояние от O до стороны AB равно половине длины стороны квадрата, то есть 6√2 / 2 = 3√2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой M, ее проекцией O на плоскость ABCD и серединой стороны AB (обозначим ее K). Треугольник MKO — прямоугольный, где MK — высота, KO — расстояние от центра до стороны, MO — расстояние от M до плоскости.

В прямоугольном треугольнике AKB, AB = 6√2, AK = KB = 3√2. Найдем расстояние от центра O до стороны AB. Проведем OK ⊥ AB. Треугольник AOB равнобедренный. OK = BK = 3√2.

В прямоугольном треугольнике MAO, MA = 10, AO = AC/2 = 12/2 = 6. Найдем MO по теореме Пифагора: MO² = MA² - AO² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64. Значит, MO = 8.

Теперь найдем расстояние от M до AB. Пусть K — середина AB. Треугольник MKO — прямоугольный, где MO = 8, KO = 3√2. Тогда MK² = MO² + KO² = 8² + (3√2)² = 64 + 18 = 82. Следовательно, MK = √82.