4. MC ⊥ ABC, MC = 2. ∠ACB = 90°, AC = 6, BC = 8. Найдите d (M, AB).

Решение:

Так как MC ⊥ ABC, то MC перпендикулярно любой прямой в плоскости ABC, проходящей через C. В частности, MC ⊥ AC и MC ⊥ BC.

Так как ∠ACB = 90°, то треугольник ACB — прямоугольный.

Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Значит, AB = 10.

Расстояние от точки M до прямой AB — это длина перпендикуляра, опущенного из M на AB.

Рассмотрим плоскость MCB. В ней MC ⊥ BC.

Рассмотрим плоскость MCA. В ней MC ⊥ AC.

Рассмотрим треугольник MCB. MC = 2, BC = 8. MB² = MC² + BC² = 2² + 8² = 4 + 64 = 68. MB = √68 = 2√17.

Рассмотрим треугольник MCA. MC = 2, AC = 6. MA² = MC² + AC² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40. MA = √40 = 2√10.

Чтобы найти расстояние от M до AB, нам нужно найти длину перпендикуляра из M на AB. Обозначим точку, в которую опущен перпендикуляр, как H. Треугольник MHA и MHB — прямоугольные.

Рассмотрим высоту CH в прямоугольном треугольнике ACB. Площадь △ACB = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 6 * 8 = 24. Также Площадь △ACB = 1/2 * AB * CH. Значит, 24 = 1/2 * 10 * CH. Отсюда CH = 24 * 2 / 10 = 48 / 10 = 4.8.

Теперь рассмотрим треугольник MCH. MC ⊥ ABC, значит MC ⊥ CH. Треугольник MCH — прямоугольный.

Найдем MH по теореме Пифагора: MH² = MC² + CH² = 2² + (4.8)² = 4 + 23.04 = 27.04. Значит, MH = √27.04 = 5.2.