6. ABCD — прямоугольник, MB ⊥ ABC, MA = 13, MC = 9, MD = 15. Найдите MB.

Решение:

Так как MB ⊥ ABC, то MB перпендикулярно любой прямой в плоскости ABC, проходящей через B. В частности, MB ⊥ AB и MB ⊥ BC.

Рассмотрим прямоугольные треугольники MBA, MBC, MBD.

В △MBA: MA² = MB² + AB² => 13² = MB² + AB² => 169 = MB² + AB².

В △MBC: MC² = MB² + BC² => 9² = MB² + BC² => 81 = MB² + BC².

В △MBD: MD² = MB² + BD².

Так как ABCD — прямоугольник, то его диагонали равны: AC = BD.

Также в прямоугольнике AB = CD и BC = AD.

Из уравнений для △MBA и △MBC выразим AB² и BC²:

AB² = 169 - MB²

BC² = 81 - MB²

В прямоугольнике ABCD, по теореме Пифагора: AC² = AB² + BC².

Так как AC = BD, то BD² = AB² + BC².

Подставим выражения для AB² и BC²:

BD² = (169 - MB²) + (81 - MB²) = 250 - 2MB².

Теперь подставим это в уравнение для △MBD:

MD² = MB² + BD²

15² = MB² + (250 - 2MB²)

225 = MB² + 250 - 2MB²

225 = 250 - MB²

MB² = 250 - 225

MB² = 25

MB = 5.