3. ABCD — квадрат, MA ⊥ ABC. MA = 9, AB = 12. Найдите d (M, DC).

Решение:

Так как ABCD — квадрат, то AB = BC = CD = DA = 12.

MA перпендикулярно плоскости ABC, значит, MA перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через A. В частности, MA ⊥ AD и MA ⊥ AB.

Искомое расстояние d(M, DC) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую DC. Поскольку MA ⊥ плоскости ABCD, то MA ⊥ DC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MAD. MA = 9, AD = 12. По теореме Пифагора найдем MD: MD² = MA² + AD² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Значит, MD = 15.

Расстояние от точки M до прямой DC равно длине перпендикуляра, опущенного из M на DC. Поскольку MA ⊥ DC, а AD ⊥ DC, то расстояние от M до DC равно длине отрезка AD, если бы MA было в плоскости ABCD. Но MA перпендикулярно плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MAD. MA = 9, AD = 12. MD = 15.

Чтобы найти расстояние от M до прямой DC, нужно найти длину перпендикуляра из M на DC. Так как MA ⊥ плоскости ABCD, то MA ⊥ DC. Тогда, если мы проведем перпендикуляр из M на DC, он будет параллелен AD. Значит, расстояние от M до DC равно AD.

Поскольку MA ⊥ плоскости ABCD, то MA ⊥ DC. AD ⊥ DC. Значит, плоскость MAD перпендикулярна плоскости ABCD.

Расстояние от точки M до прямой DC — это длина перпендикуляра из M на DC. Пусть P — точка на DC такая, что MP ⊥ DC. Так как MA ⊥ DC и AD ⊥ DC, то MP параллельна AD. Значит, MP = AD.

В данном случае, поскольку ABCD — квадрат, AD = DC = 12. MA = 9.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MAD. MA = 9, AD = 12. MD = 15.

Расстояние от точки M до прямой DC будет равно длине отрезка AD, так как MA перпендикулярна плоскости ABCD, а AD лежит в этой плоскости и перпендикулярна DC.

Поскольку MA ⊥ ABCD, то MA ⊥ DC. AD ⊥ DC. Следовательно, расстояние от M до DC равно AD = 12.