5. MC ⊥ ABC, AC = 13, BC = 15, AB = 14, MC = 16. Найдите d (M, AB).

Решение:

Так как MC ⊥ ABC, то MC перпендикулярно любой прямой в плоскости ABC, проходящей через C. В частности, MC ⊥ AC и MC ⊥ BC.

Рассмотрим треугольник ABC. Стороны AC = 13, BC = 15, AB = 14.

Найдем площадь треугольника ABC. Можно использовать формулу Герона. Полупериметр p = (13 + 15 + 14) / 2 = 42 / 2 = 21.

Площадь S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[21(21-13)(21-15)(21-14)] = √[21 * 8 * 6 * 7] = √[3*7 * 2³ * 2*3 * 7] = √[2⁴ * 3² * 7²] = 2² * 3 * 7 = 4 * 21 = 84.

Теперь найдем высоту CH, проведенную из вершины C к стороне AB. Площадь треугольника ABC также равна 1/2 * AB * CH.

84 = 1/2 * 14 * CH. 84 = 7 * CH. CH = 84 / 7 = 12.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MCH, так как MC ⊥ ABC, то MC ⊥ CH.

По теореме Пифагора найдем MH: MH² = MC² + CH² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400. Значит, MH = √400 = 20.