2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Углы \( \angle ACD \) и \( \angle ABD \) опираются на одну дугу AD, поэтому \( \angle ACD = \angle ABD = 51^{\circ} \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на одну дугу BC, поэтому \( \angle BAC = \angle BDC \).

Углы \( \angle ADB \) и \( \angle ACB \) опираются на одну дугу AB, поэтому \( \angle ADB = \angle ACB \).

В треугольнике ACD:

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \)

\( \angle ACD = 51^{\circ} \)

\( \angle CAD = 42^{\circ} \)

\( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ACD - \angle CAD = 180^{\circ} - 51^{\circ} - 42^{\circ} = 180^{\circ} - 93^{\circ} = 87^{\circ} \).

\( \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 87^{\circ} - \angle ADB \).

В треугольнике ABC:

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 51^{\circ} + \angle DBC \).

\( \angle BAC = \angle CAD + \angle DAB = 42^{\circ} + \angle DAB \).

\( \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 51^{\circ} + \angle DCB \).

Рассмотрим \( \angle ABC \). Это угол, в который входят \( \angle ABD \) и \( \angle DBC \).

Угол \( \angle DBC \) опирается на дугу DC. Угол \( \angle DAC \) также опирается на дугу DC. Следовательно, \( \angle DBC = \angle DAC = 42^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 51^{\circ} + 42^{\circ} = 93^{\circ} \).

Ответ: 93°.