2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это означает, что сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдем угол ADC: \( \angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 138° = 42° \).

2. Угол CAD и угол CBD опираются на одну дугу CD, значит \( \angle CBD = \angle CAD = 83° \).

3. В треугольнике BCD: \( \angle BCD + \angle CBD + \angle BDC = 180° \). Известно \( \angle BCD = \angle ADC = 42° \) (так как ABCD вписанный). Нет, \( \angle BCD \) не равно \( \angle ADC \).

Рассмотрим треугольник ACD. Угол CAD = 83°. Угол ADC = 42°. Тогда \( \angle ACD = 180° - 83° - 42° = 55° \).

4. В четырёхугольнике ABCD: \( \angle BCD = 180° - \angle BAD \) и \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).

5. Угол ABC = 138°, угол ADC = 42°.

Угол CAD = 83°. Угол CBD = 83° (опираются на дугу CD).

Угол BAC и угол BDC опираются на дугу BC.

Угол ACB и угол ADB опираются на дугу AB.

Угол ACD = 55°. Значит \( \angle BCD = 180° - \angle BAD \).

В треугольнике ABD:

\( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \)

\( \angle ABD = ? \)

\( \angle ADB = \angle ACB \)

Найдем \( \angle BCD \). \( \angle BCD = 180° - \angle BAD \).

Из \( \angle CAD = 83° \) и \( \angle ADC = 42° \), то \( \angle ACD = 180° - 83° - 42° = 55° \).

\( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = \angle ACB + 55° \).

\( 180° - \angle BAD = \angle ACB + 55° \).

\( 180° - (\angle BAC + 83°) = \angle ACB + 55° \).

\( 97° - \angle BAC = \angle ACB + 55° \).

\( \angle BAC - \angle ACB = 42° \).

Угол ABD и угол ACD опираются на дугу AD. Значит \( \angle ABD = \angle ACD = 55° \).

Ответ: 55.