3. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

По рисунку:

• Высота \( h = 5 \).
• Меньшее основание \( b = 6 \).
• Угол при основании \( \alpha = 45° \).

Обозначим большее основание \( a \).

Опустим высоту из вершины угла при меньшем основании на большее основание. Получится прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Один катет — это высота \( h = 5 \).
• Другой катет — это отрезок, на который меньшее основание \( b \) «меньше» большего основания \( a \). Обозначим этот отрезок \( x \).
• Угол при гипотенузе равен \( 45° \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\( \tan(\alpha) = \frac{h}{x} \)

\( \tan(45°) = \frac{5}{x} \)

Так как \( \tan(45°) = 1 \), то \( 1 = \frac{5}{x} \), следовательно \( x = 5 \).

Большее основание \( a \) состоит из меньшего основания \( b \) и двух таких отрезков \( x \) (по одному с каждой стороны):

\( a = b + 2x \)

\( a = 6 + 2 × 5 \)

\( a = 6 + 10 \)

\( a = 16 \).

Ответ: 16.