2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что плоскости AA₁C₁ и BAC перпендикулярны.

Пусть ребро куба равно \(a\). Возьмём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(C=(a,a,0)\), \(A_1=(0,0,a)\), \(C_1=(a,a,a)\).

Плоскость \(BAC\) — нижняя грань куба, поэтому её нормальный вектор можно взять \(\mathbf n_1=(0,0,1)\).

В плоскости \(AA_1C_1\) лежат векторы \(\overrightarrow{AA_1}=(0,0,a)\) и \(\overrightarrow{AC_1}=(a,a,a)\). Их векторное произведение пропорционально \((-1,1,0)\), значит, это нормальный вектор плоскости: \(\mathbf n_2=(-1,1,0)\).

Так как \(\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=0\), нормали плоскостей перпендикулярны. Следовательно, плоскости \(AA_1C_1\) и \(BAC\) перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.