5. Изобразите куб ABCDА₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через ребро AA₁ и перпендикулярной к плоскости BB₁D₁.

Возьмём куб с координатами \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(1,1,0)\), \(D=(0,1,0)\) и верхними вершинами с координатой \(z=1\). Плоскость \(BB_1D_1\) имеет уравнение \(x+y=1\), поэтому её нормаль — \((1,1,0)\).

Плоскость через ребро \(AA_1\), перпендикулярная к \(BB_1D_1\), имеет нормаль \((1,1,0)\), поскольку нормали перпендикулярных плоскостей взаимно перпендикулярны. Уравнение искомой плоскости через \(A\) и \(A_1\): \(x+y=0\). Внутри куба она пересекает его только по ребру \(AA_1\). Следовательно, сечение вырождается в ребро, а не в многоугольник.

Геометрически это также следует из того, что плоскости \(AA_1D_1\) и \(BB_1D_1\) взаимно перпендикулярны, а их пересечение — прямая \(D_1D\) (по заданной нумерации куба стандартное соответствие вершин требует уточнения). При стандартной координатной модели, указанной выше, вывод по уравнению однозначен: сечение — \(AA_1\).