2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Точки M и N лежат соответственно на рёбрах BB₁ и DD₁. Известно, что AM = 5/4, AN = √5/2. Найдите MN.

Введём координаты: A=(0,0,0), B=(1,0,0), D=(0,1,0), а вертикальная координата направлена к верхней грани.

Пусть M=(1,0,m). Из AM²=1+m²=25/16 получаем m=3/4, поскольку M лежит на ребре BB₁.

Пусть N=(0,1,n). Из AN²=1+n²=5/4 получаем n=1/2, поскольку N лежит на ребре DD₁.

Тогда MN²=(1−0)²+(0−1)²+(3/4−1/2)²=2+1/16=33/16.

Ответ: MN=√33/4.