3. Для каких простых чисел p число 2ᵖ+1 делится на 11?

По модулю 11 порядок числа 2 равен 10: 2⁵≡−1 (mod 11), поэтому 2ᵖ≡−1 (mod 11) тогда и только тогда, когда p≡5 (mod 10).

Поскольку p — простое число и p≡5 (mod 10), единственная возможность — p=5.

Ответ: p=5.