2. Дана функция f(x) = 4 + 3x − x². Не строя график, найдите: а) координаты точек пересечения графика с осью абсцисс; б) координаты точек пересечения графика с осью ординат; в) координаты точек пересечения графика с прямой y = 3x + 4; г) наибольшее значение функции.

а) На оси абсцисс \(y=0\), поэтому решаем:

\(4+3x-x^2=0\), то есть \(x^2-3x-4=0\).

\((x-4)(x+1)=0\), откуда \(x=4\) или \(x=-1\). Точки: \((4;0)\) и \((-1;0)\).

б) На оси ординат \(x=0\). Тогда \(f(0)=4\), и точка пересечения — \((0;4)\).

в) При пересечении с прямой значения \(y\) равны:

\(4+3x-x^2=3x+4\), откуда \(-x^2=0\), значит, \(x=0\). Тогда \(y=4\). Точка: \((0;4)\).

г) Преобразуем выражение, выделив квадрат:

\(f(x)=4+3x-x^2=\frac{25}{4}-(x-\frac{3}{2})^2\).

Поскольку квадрат неотрицателен, наибольшее значение функции равно \(\frac{25}{4}\) при \(x=\frac{3}{2}\).

Ответ: а) (−1; 0), (4; 0); б) (0; 4); в) (0; 4); г) \(\frac{25}{4}\).