7*. Найдите такое значение a, при котором отрезок прямой x = a, концы которого лежат на линиях y = −x² и y = (x − 1)², имеет наименьшую длину.

При \(x=a\) ординаты концов отрезка равны \(-a^2\) и \((a-1)^2\). Длина вертикального отрезка:

\(L(a)=(a-1)^2-(-a^2)=a^2+(a-1)^2\).

Выделим квадрат:

\(L(a)=2a^2-2a+1=2(a-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\).

Квадрат минимален при \(a=\frac{1}{2}\), поэтому длина отрезка там наименьшая.

Ответ: \(a=\frac{1}{2}\); минимальная длина отрезка равна \(\frac{1}{2}\).