2) Дано: AB : BC = 1 : 2; AC = 5√5 (рис. 8.143). Доказать: ABCD — прямоугольник. Найти: AB, BC.

Диагонали AC и BD проходят через центр окружности, поэтому являются её диаметрами. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°. Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Пусть AB = x, тогда BC = 2x. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

\(AC^2=AB^2+BC^2\), откуда \((5\sqrt{5})^2=x^2+(2x)^2\).

\(125=5x^2\), значит, \(x=5\). Поэтому AB = 5, BC = 10.

Ответ: ABCD — прямоугольник; AB = 5, BC = 10.