2. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = O; ∠CAD = 30°; AC = 12 см. Найти: P_ABCD.

В прямоугольном треугольнике ACD диагональ AC — гипотенуза, а AD — прилежащий к углу CAD катет.

\(AD=AC\cos 30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\) см.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому \(BC=AD=6\sqrt3\) см. По теореме Пифагора в треугольнике ACD:

\(CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{144-108}=6\) см.

Значит, \(AB=CD=6\) см, и

\(P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(6+6\sqrt3)=12+12\sqrt3\) см.

Ответ: \(12+12\sqrt3\) см.