4. Дано: ABCD — прямоугольник; BK — биссектриса ∠DBC; BD — биссектриса ∠ABK; DL ∥ BK; KC = 3 см. Найти: P_DLBK.

Обозначим \(\angle DBC=\theta\). Поскольку ABCD — прямоугольник, \(\angle ABC=90^\circ\), поэтому \(\angle ABD=90^\circ-\theta\).

BK — биссектриса угла DBC, значит \(\angle DBK=\theta/2\). А BD — биссектриса угла ABK, поэтому \(\angle ABD=\angle DBK\). Следовательно, \(90^\circ-\theta=\theta/2\), откуда \(\theta=60^\circ\).

Треугольник BCD прямоугольный, его угол при B равен 60°, а KC — высота от C до K на стороне CD. В треугольнике BKC угол при C прямой, а угол при B равен 30°. При KC = 3 см получаем \(BK=2\cdot KC=6\) см и \(BC=KC\sqrt3=3\sqrt3\) см.

По свойству прямоугольника \(AD=BC=3\sqrt3\) см. Так как DL ∥ BK и DL соединяет D с прямой AB, отрезок DL равен BK, то есть 6 см; L лежит на продолжении AB за точку A. Также \(LB=AB+AL\). Из подобия прямоугольных треугольников, образованных параллельными BK и DL, следует \(AL=KC=3\) см; значит, \(LB=CD+AL\). Поскольку \(CD=AB\), из прямоугольного треугольника BKC имеем \(AB=CD=KC\sqrt3=3\sqrt3\) см, и \(LB=3\sqrt3+3\) см.

Кроме того, \(DK=CD-KC=3\sqrt3-3\) см. Периметр четырёхугольника DLBK:

\(P_{DLBK}=DL+LB+BK+KD=6+(3\sqrt3+3)+6+(3\sqrt3-3)=12+6\sqrt3\) см.

Ответ: \(12+6\sqrt3\) см.