2. Дано: $$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Найти: $$\cos 2\alpha$$.

Решение:

Сначала упростим данное в условии уравнение, используя формулу косинуса суммы:

• \[ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos\frac{3\pi}{2} \cos \alpha - \sin\frac{3\pi}{2} \sin \alpha \]
• \[ = 0 \cdot \cos \alpha - (-1) \cdot \sin \alpha \]
• \[ = \sin \alpha \]

Таким образом, условие задачи принимает вид:

• \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь нам нужно найти $$\cos 2\alpha$$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

• \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \]

Подставим известное значение $$\sin \alpha$$:

• \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \]
• \[ = 1 - 2\left(\frac{2}{4}\right) \]
• \[ = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right) \]
• \[ = 1 - 1 \]
• \[ = 0 \]

Ответ: 0