3. Упростить: б) $$\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{2 \cos 3\alpha} - \operatorname{ctg} \alpha - 1$$

Решение:

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами преобразования разности синусов в произведение и формулой косинуса суммы/разности.

Сначала преобразуем числитель дроби:

• \[ \sin 5\alpha - \sin \alpha = 2 \sin\left(\frac{5\alpha - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{5\alpha + \alpha}{2}\right) = 2 \sin 2\alpha \cos 3\alpha \]

Теперь подставим это в дробную часть выражения:

• \[ \frac{2 \sin 2\alpha \cos 3\alpha}{2 \cos 3\alpha} \]

Сократим на $$2 \cos 3\alpha$$ (при условии, что $$\cos 3\alpha
eq 0$$):

• \[ = \sin 2\alpha \]

Теперь вернемся к полному выражению:

• \[ \sin 2\alpha - \operatorname{ctg} \alpha - 1 \]

Распишем $$\sin 2\alpha$$ как $$2 \sin \alpha \cos \alpha$$ и $$\operatorname{ctg} \alpha$$ как $$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$:

• \[ 2 \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 1 \]

Приведем к общему знаменателю $$\sin \alpha$$:

• \[ \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} \]

Это выражение не упрощается далее в общем виде без дополнительных условий.

Возможная опечатка в задании: Если предполагалось упростить только дробную часть, то ответ $$\sin 2\alpha$$. Если же все выражение, то результат представлен выше.

Если предположить, что имелось в виду: $$\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{2 \cos 3\alpha}$$ то ответ $$\sin 2\alpha$$.

Учитывая возможное упрощение всего выражения, приведем к другому виду, если предположить, что итоговый ответ должен быть более простым, и пересмотрим шаги.

Если выражение такое, как написано, дальнейшее упрощение затруднительно.

Проверим другую возможную интерпретацию:

Предположим, что в задании была опечатка и дробная часть должна была упроститься до чего-то, что затем сокращается с остальным.

Если же задача корректна, то ответ:

• \[ \sin 2\alpha - \operatorname{ctg} \alpha - 1 \]

Если предположить, что ответ должен быть значительно проще, то возможно, что в выражении изначально было что-то другое.

Однако, следуя строго условию:

• \[ \frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{2 \cos 3\alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 3\alpha}{2 \cos 3\alpha} = \sin 2\alpha \]

Тогда исходное выражение равно:

• \[ \sin 2\alpha - \operatorname{ctg} \alpha - 1 \]

Если предположить, что результат должен быть числом или простой функцией, возможно, что задание содержит ошибку.

Без дополнительных уточнений, окончательный ответ:

Ответ: $$\sin 2\alpha - \operatorname{ctg} \alpha - 1$$