3. Упростить: a) $$\operatorname{ctg}^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

Решение:

Для упрощения данного выражения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

• \[ \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \]
• \[ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha \]
• \[ 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \operatorname{cosec}^2 \alpha \]

Подставим первое тождество в исходное выражение:

• \[ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \cos^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha} \]

Приведем к общему знаменателю $$\sin^2 \alpha$$:

• \[ \frac{\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} \]

Вынесем $$\cos^2 \alpha$$ за скобки в числителе:

• \[ \frac{\cos^2 \alpha (1 + \sin^2 \alpha) - 1}{\sin^2 \alpha} \]

Используем тождество $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, откуда $$1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$$. Подставим это в числитель:

• \[ \frac{\cos^2 \alpha (1 + \sin^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} \]

Перегруппируем члены в числителе:

• \[ \frac{\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \]
• \[ = \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \]

Вынесем $$\sin^2 \alpha$$ за скобки в числителе:

• \[ = \frac{\sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1)}{\sin^2 \alpha} \]

Сократим на $$\sin^2 \alpha$$ (при условии, что $$\sin \alpha
eq 0$$):

• \[ = \cos^2 \alpha - 1 \]

Используем тождество $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, откуда $$\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$$.

Ответ: $$-\sin^2 \alpha$$