2. Дано множество N из n элементов. а) Вспомните, что такое мощность множества. Какова мощность у множества N? б) Елисей составил новое множество, элементами которого стали подмножества множества N из двух элементов. Какова мощность нового множества? в) А если Елисей брал подмножества множества N из трёх элементов? г) Елисей составил множество всех подмножеств множества N. Какова его мощность?

Мощность конечного множества — количество его элементов. Поэтому \(|N|=n\).

Подмножество из \(k\) элементов получается выбором любых \(k\) элементов из \(n\), причём порядок выбора не важен. Число таких подмножеств равно \(\binom nk\).

1. а) \(|N|=n\).
2. б) Подмножеств из двух элементов: \(\binom n2=\frac{n(n-1)}2\) (если \(n\ge2\); при \(n<2\) их нет).
3. в) Подмножеств из трёх элементов: \(\binom n3=\frac{n(n-1)(n-2)}6\) (если \(n\ge3\); при \(n<3\) их нет).
4. г) Для каждого из \(n\) элементов можно независимо выбрать, включать его в подмножество или нет. Следовательно, мощность множества всех подмножеств равна \(2^n\).