3. Выразите мощность множества объединения а) двух; б) трёх множеств через их мощности и мощности множеств их частичных пересечений. в) Выпишите явно и докажите формулу в случае четырёх множеств.

а) Для двух конечных множеств общие элементы при сложении мощностей учитываются дважды, поэтому их пересечение нужно вычесть один раз:

\[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.\]

б) Для трёх множеств сначала складываем мощности, затем вычитаем попарные пересечения. Элементы общего пересечения при этом вычтены лишний раз, поэтому прибавляем его:

\[|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.\]

в) Для четырёх конечных множеств:

\[\begin{aligned}|A\cup B\cup C\cup D|={}&|A|+|B|+|C|+|D|\\&-|A\cap B|-|A\cap C|-|A\cap D|-|B\cap C|-|B\cap D|-|C\cap D|\\&+|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap D|+|A\cap C\cap D|+|B\cap C\cap D|\\&-|A\cap B\cap C\cap D|.\end{aligned}\]

Доказательство: применим формулу для трёх множеств к \((A\cup B\cup C)\cup D\):

\[|A\cup B\cup C\cup D|=|A\cup B\cup C|+|D|-|(A\cup B\cup C)\cap D|.\]

Первое слагаемое раскрываем формулой для трёх множеств. Кроме того, \((A\cup B\cup C)\cap D=(A\cap D)\cup(B\cap D)\cup(C\cap D)\). Применяя к этому объединению ту же формулу, получаем \(|A\cap D|+|B\cap D|+|C\cap D|-|A\cap B\cap D|-|A\cap C\cap D|-|B\cap C\cap D|+|A\cap B\cap C\cap D|\). Вычитание этого выражения даёт указанную формулу: попарные пересечения имеют знак минус, тройные — плюс, а общее пересечение четырёх множеств — минус.