2. Даны векторы \( \vec{a}=(3; 4) \) и \( \vec{b}=(-4; -3) \). Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами воспользуемся формулой:

\( \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)

Сначала найдём скалярное произведение векторов \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-4) + (4)(-3) = -12 - 12 = -24 \)

Теперь найдём модули векторов:

\( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

Подставим найденные значения в формулу косинуса:

\( \cos(\alpha) = \frac{-24}{5 \cdot 5} = \frac{-24}{25} = -0.96 \)

Ответ: -0.96.