2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке M. 1) Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$. 2) Найдите $|BC|$, если диагонали ромба равны 12 и 16. 3) Найдите $|AC|$, если A(3; 1), C(−1; 4).

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке M. 1) Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы…$ Фото задания

2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке M. 1) Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$. 2) Найдите $|BC|$, если диагонали ромба равны 12 и 16. 3) Найдите $|AC|$, если A(3; 1), C(−1; 4).

Accepted Answer

1) Диагонали параллелограмма, в том числе ромба, делятся точкой пересечения пополам. Поэтому $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AC}$. По правилу сложения векторов $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, следовательно, $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$.

2) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны 6 и 8, а сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника: $|BC|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.

3) По формуле расстояния между точками: $|AC|=\sqrt{(-1-3)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5$.

Ответ: 1) $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$; 2) 10; 3) 5.