2. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Пусть ABCD — трапеция, AB ∥ CD, а диагонали AC и BD равны. Опустим перпендикуляры из C и D на прямую AB. Получившиеся прямоугольные треугольники имеют равные высоты, поскольку расстояние между параллельными основаниями постоянно.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузами AC и BD и катетами, равными высоте трапеции.
2. По теореме Пифагора горизонтальные проекции диагоналей равны, так как гипотенузы и соответствующие катеты равны.
3. Из параллельности оснований следует, что равенство этих проекций означает равенство боковых сторон трапеции.

Значит, трапеция равнобедренная.