5. Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). На стороне AB отметили точку K такую, что KM || BC. Докажите, что BK = KM.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (AB = BC), BM — медиана, K — точка на AB, \( KM \parallel BC \).

Доказать: \( BK = KM \).

Доказательство:

1. Так как BM — медиана в \( \triangle ABC \), то M — середина стороны AC. Следовательно, \( AM = MC \).
2. \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием AC (по условию AB = BC). Это означает, что углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
3. Рассмотрим \( \triangle KBM \). Нам нужно доказать, что он равнобедренный (BK = KM). Для этого достаточно доказать, что \( \angle BKM = \angle KBM \) или \( \angle KBM = \angle BKM \).
4. Дано, что \( KM \parallel BC \).
5. Рассмотрим прямые KM и BC и секущую AB. Угол \( \angle BKM \) и угол \( \angle ABC \) являются односторонними углами при параллельных прямых KM и BC и секущей AB, но это неверно.
6. Рассмотрим прямые KM и BC и секущую AB. Угол \( \angle AKM \) и угол \( \angle ABC \) являются соответственными углами при параллельных прямых KM и BC и секущей AB. Значит, \( \angle AKM = \angle ABC \).
7. Угол \( \angle KBM \) является частью угла \( \angle ABC \), поэтому \( \angle KBM < \angle ABC \).
8. Рассмотрим прямые KM и BC и секущую AC. Угол \( \angle KMC \) и угол \( \angle BCM = \angle BCA \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых KM и BC и секущей AC. Значит, \( \angle KMC = \angle BCA \).
9. Так как \( \angle BAC = \angle BCA \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle ABC \)), то \( \angle KMC = \angle BAC \).
10. Теперь рассмотрим \( \triangle ABM \). В нем BM — медиана.
11. Рассмотрим \( \triangle KBM \). У нас есть \( KM \parallel BC \).
12. Рассмотрим прямые KM и BC и секущую AB. Углы \( \angle BKM \) и \( \angle ABC \) не являются ни соответственными, ни накрест лежащими, ни односторонними.
13. Вернемся к \( \triangle KBM \). Докажем, что \( \angle KBM = \angle BKM \).
14. \( \angle KBM \) — это часть \( \angle ABC \).
15. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \). Они равны по трем сторонам (AB=BC, AM=MC, BM - общая).
16. Угол \( \angle KBM \) — это угол \( \angle ABM \).
17. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный (AB=BC), то медиана BM также является высотой и биссектрисой. То есть \( BM \perp AC \) и \( \angle ABM = \angle CBM \).
18. Значит, \( \angle KBM = \angle ABM \).
19. Так как \( KM \parallel BC \), то \( \angle BKM = \angle KBC = \angle CBM \) (как накрест лежащие углы при параллельных KM и BC и секущей BM).
20. Итак, мы имеем:
21. \( \angle KBM = \angle ABM \) (так как BM — биссектриса)
22. \( \angle KBM = \angle CBM \) (так как BM — биссектриса)
23. \( \angle KMC = \angle BCA \) (как накрест лежащие)
24. \( \angle AKM = \angle ABC \) (как соответственные)
25. Из \( KM \parallel BC \) следует, что \( \angle BKM = \angle KBC \) (накрест лежащие при секущей BK). Но это не \( \angle KBM \).
26. Переформулируем:
27. Из \( KM \parallel BC \) и секущей AB, \( \angle AKM = \angle ABC \) (соответственные).
28. Из \( KM \parallel BC \) и секущей AC, \( \angle KMC = \angle BCA \) (накрест лежащие).
29. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный (AB=BC), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
30. Следовательно, \( \angle KMC = \angle BAC \).
31. Рассмотрим \( \triangle KBM \). Нам нужно доказать, что \( BK = KM \). Это значит, что \( \triangle KBM \) равнобедренный, т.е. \( \angle KBM = \angle BKM \).
32. \( \angle KBM \) — это просто \( \angle ABC \). Но точка K лежит на AB, поэтому \( \angle KBM = \angle ABM \).
33. Так как BM — медиана равнобедренного треугольника, она также является биссектрисой угла B. Значит, \( \angle ABM = \angle CBM \).
34. Поэтому \( \angle KBM = \angle ABM = \angle CBM \).
35. Теперь рассмотрим углы при точке K.
36. Угол \( \angle BKM \) — это внешний угол для \( \triangle AKM \).
37. \( \angle BKM = \angle KAC + \angle KMA \) — это неверно.
38. Рассмотрим \( \angle BKM \).
39. Из \( KM \parallel BC \) и секущей AB, \( \angle AKM = \angle ABC \) (соответственные).
40. Угол \( \angle BKM \) смежный с \( \angle AKM \). \( \angle BKM + \angle AKM = 180° \).
41. \( \angle BKM = 180° - \angle AKM = 180° - \angle ABC \).
42. Теперь рассмотрим \( \angle KBM = \angle ABC \).
43. Мы хотим доказать, что \( \angle KBM = \angle BKM \).
44. \( \angle ABC = 180° - \angle ABC \) — это возможно только если \( \angle ABC = 90° \). Но это не всегда так.
45. Вернемся к \( KM \parallel BC \).
46. Рассмотрим секущую BM. \( \angle KMB = \angle MBC \) (накрест лежащие).
47. \( \angle MBC = \angle ABM \) (так как BM — биссектриса).
48. Значит, \( \angle KMB = \angle ABM \).
49. Рассмотрим \( \triangle KBM \). Углы \( \angle KBM \) и \( \angle BKM \) являются углами при основании, если \( BK = KM \).
50. У нас есть \( \angle KBM = \angle ABM \).
51. И \( \angle KMB = \angle ABM \).
52. Следовательно, \( \angle KBM = \angle KMB \).
53. Так как в \( \triangle KBM \) углы при основании BK и KM равны (\( \angle KBM = \angle KMB \)), то треугольник \( \triangle KBM \) равнобедренный с основанием KM.
54. Отсюда следует, что \( BK = KM \).

Что и требовалось доказать.