2. Две стороны треугольника, сумма длин которых 8, лежат против углов 45° и 60°. Определите длины этих сторон.

По теореме синусов стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:

\(a:b=\sin45^\circ:\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}:\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt2:\sqrt3\).

Пусть \(a=k\sqrt2\), \(b=k\sqrt3\). Тогда:

\(k\sqrt2+k\sqrt3=8\), откуда \(k=\dfrac{8}{\sqrt2+\sqrt3}\).

Следовательно,

\(a=\dfrac{8\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3}=8\sqrt6-16\),

\(b=\dfrac{8\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=24-8\sqrt6\).

Ответ: \(8\sqrt6-16\) и \(24-8\sqrt6\).