5. В ΔABC биссектриса ∠A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13:12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если BC=10.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла \(A\) с высотой из вершины \(B\) через \(D\), а основание высоты — через \(H\). По условию \(BD:DH=13:12\).

Из геометрии угла между биссектрисой и стороной \(AC\) следует, что

\(\dfrac{BD}{DH}=\dfrac{1}{\cos A}\).

Значит, \(\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{13}{12}\), откуда \(\cos A=\dfrac{12}{13}\).

Так как угол острый, \(\sin A=\dfrac{5}{13}\).

По расширенной теореме синусов сторона \(BC\), лежащая против угла \(A\), равна:

\(BC=2R\sin A\).

\(10=2R\cdot\dfrac{5}{13}\), поэтому \(R=13\).

Ответ: \(R=13\).