4. На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Пусть диагонали ромба равны \(d_1\) и \(d_2\), а сторона — \(a\). Три вершины ромба образуют равнобедренный треугольник. Для окружностей радиусов \(R_1\) и \(R_2\) выполняется:

\(R_1=\dfrac{a^2}{d_2}\), \(R_2=\dfrac{a^2}{d_1}\).

Поэтому \(d_1=\dfrac{a^2}{3}\), \(d_2=\dfrac{a^2}{4}\). Для ромба:

\(d_1^2+d_2^2=4a^2\).

Подставим:

\(\left(\dfrac{a^2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a^2}{4}\right)^2=4a^2\).

\(a^4\left(\dfrac19+\dfrac1{16}\right)=4a^2\),

\(a^2\cdot\dfrac{25}{144}=4\), поэтому \(a^2=\dfrac{576}{25}\).

Следовательно, \(a=\dfrac{24}{5}\).

Ответ: \(\dfrac{24}{5}\).