2. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл \( \int_{a}^{b} f(x) dx \) геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью абсцисс \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \).

Если функция \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \) неотрицательна \( (f(x) ≥ 0) \), то интеграл равен площади этой трапеции:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

Если функция \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \) отрицательна \( (f(x) ≤ 0) \), то интеграл равен площади трапеции, взятой со знаком минус:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = -S \]

Если функция меняет знак на отрезке \( [a, b] \), то интеграл равен алгебраической сумме площадей:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = S_1 - S_2 \]

где \( S_1 \) — площадь фигуры над осью \( Ox \), а \( S_2 \) — площадь фигуры под осью \( Ox \).