4. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите объем цилиндра.

Решение:

Дано:
Цилиндр. Осевое сечение — квадрат.
Диагональ квадрата \( d = 20 \) см.

Найти:
Объём цилиндра \( V \).

1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который получается при сечении цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. В данном случае это квадрат.
2. Пусть сторона квадрата равна \( a \). Диагональ квадрата связана со стороной соотношением \( d = a\sqrt{2} \).
3. Из условия \( d = 20 \) см, находим сторону квадрата: \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \) см.
4. Сторона квадрата является высотой цилиндра \( h \) и диаметром его основания \( D \). Таким образом, \( h = D = a = 10\sqrt{2} \) см.
5. Радиус основания цилиндра \( R = \frac{D}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \) см.
6. Объём цилиндра вычисляется по формуле \( V = \pi R^2 h \).
7. Подставляем найденные значения: \( V = \pi (5\sqrt{2})^2 (10\sqrt{2}) = \pi (25 \cdot 2) (10\sqrt{2}) = \pi \cdot 50 \cdot 10\sqrt{2} = 500\sqrt{2}\pi \) см³.

Ответ: \( V = 500\sqrt{2}\pi \) см³.