5. Найдите общее решение дефференциального уравнения \( \frac{dy}{dx} = \frac{3y^3}{x} \)

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

1. Перепишем уравнение, разделив переменные:

\[ \frac{dy}{3y^3} = \frac{dx}{x} \]

2. Проинтегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{dy}{3y^3} = \int \frac{dx}{x} \]

\[ \frac{1}{3} \int y^{-3} dy = \int \frac{1}{x} dx \]

\[ \frac{1}{3} \cdot \frac{y^{-2}}{-2} = \ln|x| + C \]

\[ -\frac{1}{6y^2} = \ln|x| + C \]

3. Выразим \( y^2 \):

\[ y^2 = -\frac{1}{6(\ln|x| + C)} \]

\[ y = \sqrt{-\frac{1}{6(\ln|x| + C)}} \]

Здесь \( C \) — произвольная постоянная.

Примечание: Для корректного существования квадратного корня необходимо, чтобы выражение под корнем было положительным, то есть \( -\frac{1}{6(\ln|x| + C)} > 0 \), что означает \( \ln|x| + C < 0 \).