6. Решите неравенство log₂(2,5x +1) ≤ -2

Решение:

Решим неравенство \( \log_{2}(2.5x + 1) \le -2 \).

1. ОДЗ (область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть больше нуля.

\[ 2.5x + 1 > 0 \]

\[ 2.5x > -1 \]

\[ x > -\frac{1}{2.5} \]

\[ x > -\frac{10}{25} \]

\[ x > -0.4 \]

2. Решение неравенства:

Перепишем правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 2:

\[ -2 = \log_{2}(2^{-2}) = \log_{2}(\frac{1}{4}) \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \log_{2}(2.5x + 1) \le \log_{2}(\frac{1}{4}) \]

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, мы можем опустить знаки логарифма, сохранив знак неравенства:

\[ 2.5x + 1 \le \frac{1}{4} \]

\[ 2.5x \le \frac{1}{4} - 1 \]

\[ 2.5x \le -\frac{3}{4} \]

\[ \frac{5}{2} x \le -\frac{3}{4} \]

\[ x \le -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \]

\[ x \le -\frac{6}{20} \]

\[ x \le -0.3 \]

3. Пересечение с ОДЗ:

Мы получили \( x \le -0.3 \) и из ОДЗ \( x > -0.4 \). Объединяя эти два условия, получаем:

\[ -0.4 < x \le -0.3 \]

В виде интервала это будет \( (-0.4; -0.3] \).

Ответ: \( x \in (-0.4; -0.3] \).