2. Из точки А к окружности с центром О проведены две касательные, К и Р — точки касания. Известно, что ∠КАР = 82°. Найдите ∠РОА.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник ОКАР. В нем ОК и ОР — радиусы окружности, проведенные в точки касания, поэтому \(\angle OKA = \angle OPA = 90^°\).

1. Сумма углов четырехугольника равна \(360^°\).
2. \(\angle OKA + \angle OPA + \angle KAP + \angle ROP = 360^°\)
3. \(90^° + 90^° + 82^° + \angle ROP = 360^°\)
4. \(262^° + \angle ROP = 360^°\)
5. \(\angle ROP = 360^° - 262^°\)
6. \(\angle ROP = 98^°\)
7. Так как треугольники ОКА и ОРА равны (по гипотенузе и катету), то \(\angle ROP = 2 \angle ROA\) или \(\angle ROA = \frac{1}{2} \angle ROP\).
8. \(\angle ROA = \frac{1}{2} × 98^° = 49^°\)

Ответ: 49°