3. К окружности проведены касательные РМ и РН, М и Н — точки касания. Найдите ∠HMP, если ∠MPH = 40°.

Решение:

Рассмотрим треугольник РМН. Он равнобедренный, так как РМ = РН (отрезки касательных, проведенных из одной точки).

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \(\angle PMH = \angle PHM\).
2. Сумма углов треугольника равна \(180^°\).
3. \(\angle MPH + \angle PMH + \angle PHM = 180^°\)
4. \(40^° + 2 × \angle PMH = 180^°\)
5. \(2 × \angle PMH = 180^° - 40^°\)
6. \(2 × \angle PMH = 140^°\)
7. \(\angle PMH = 70^°\)
8. Угол \(\angle HMP\) — это угол \(\angle PMH\).

Ответ: 70°