5. К окружности с центром О проведены касательные СМ и CN (М и N — точки касания). Отрезки СО и MN пересекаются в точке А. Найдите длину отрезка MN, если CM = 13, AC = 12.

Решение:

В данном случае CM и CN — отрезки касательных, проведенных из точки C к окружности с центром О. Следовательно, CM = CN.

Также, OC является биссектрисой угла \(\angle MCN\) и медианой, проведенной к основанию MN в равнобедренном треугольнике CMN. Отрезок ОА перпендикулярен MN.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник CMO. По теореме Пифагора: \(CM^2 + OM^2 = CO^2\).
2. Нам дано \(CM = 13\) и \(AC = 12\). В равнобедренном треугольнике CMN, \(OA \perp MN\). Треугольник CMA является прямоугольным.
3. В прямоугольном треугольнике CMA: \(CM^2 = CA^2 + AM^2\)
4. \(13^2 = 12^2 + AM^2\)
5. \(169 = 144 + AM^2\)
6. \(AM^2 = 169 - 144 = 25\)
7. \(AM = √{25} = 5\)
8. Так как OA перпендикулярно MN, и CM=CN, CO является биссектрисой и медианой. Поэтому MN = 2 * AM.
9. \(MN = 2 × 5 = 10\)

Ответ: 10