2. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH, если в треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH.

Так как BM — медиана, M — середина AC: \(AM=MC=84:2=42\).

Пусть \(AH=x\). Тогда \(HC=84-x\), а по рисунку H находится правее M, поэтому \(MH=x-42\).

Из прямоугольных треугольников BHC и BHM и условия \(BC=BM\): \(BH^2+HC^2=BH^2+MH^2\). Значит, \(HC=MH\), то есть \(84-x=x-42\).

Решаем: \(2x=126\), откуда \(x=63\).

Ответ: AH = 63.