2. Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Сторона квадрата равна 6 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Две вершины квадрата на гипотенузе образуют его сторону, значит сторона квадрата длиной 6 см лежит на гипотенузе.

Пусть гипотенуза равна \(c\). Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна \(c/2\). Ширина треугольника на расстоянии 6 см от гипотенузы уменьшается с \(c\) до 0 линейно, поэтому она равна \(c(1-6/(c/2))=c-12\).

Эта ширина равна стороне квадрата: \(c-12=6\). Следовательно, \(c=18\).

Ответ: 18 см.