3. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что BC = 16 см, ∠AKB = 120°. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника ABCD.

Обозначим через \(d\) половину диагонали прямоугольника. Тогда \(KA=KB=d\), поскольку диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.

Так как \(\angle AKB=120^\circ\), хорда \(AB\) равна \(\sqrt{d^2+d^2-2d^2\cos120^\circ}=d\sqrt3\). Угол между лучами \(KB\\) и \(KC\) равен \(60^\circ\), поэтому \(BC=d\). Из условия \(d=16\), значит \(AB=16\sqrt3\) см.

Четырёхугольник, соединяющий середины сторон прямоугольника, имеет стороны, равные половинам диагоналей прямоугольника; следовательно, его периметр равен периметру прямоугольника, то есть \(2(AB+BC)\).

\(P=2(16\sqrt3+16)=32(1+\sqrt3)\) см.

Ответ: \(32(1+\sqrt3)\) см.