2. Лягушонок прыгает на клетчатом болоте по диагоналям прямоугольников 2 × 6. Может ли он вернуться на исходную кочку за нечётное число прыжков?

Раскрасим клетки прямоугольника в шахматном порядке. При каждом прыжке по диагонали лягушонок попадает на клетку того же цвета: обе координаты меняются на нечётное число клеток, поэтому цвет не меняется. Следовательно, после любого числа прыжков он остаётся на клетках одного цвета, и нечётность числа прыжков сама по себе возврату не препятствует.

Например, между двумя диагонально соседними клетками можно прыгать туда и обратно. За три прыжка: с исходной кочки на соседнюю, обратно, затем снова на соседнюю — вернуться на исходную кочку нельзя. Однако замкнутый маршрут нечётной длины в таком графе невозможен: переходы по диагоналям соответствуют изменению координат на \((\pm1,\pm1)\); сумма координат при каждом ходе меняет чётность, поэтому после нечётного числа ходов её чётность противоположна исходной.

Ответ: нет.