2. На прямой отмечены точки A и B так, что AB = 6. Укажите на данной прямой расположение точки (или множества точек) C, удовлетворяющих условию: а) AC < BC; б) AC + CB = 8; в) CB − AC = 4; г) AC = 2CB.

Выберем координаты на прямой: пусть A имеет координату 0, а B — 6. Тогда расстояния выражаются как AC = |x| и BC = |x − 6|, где x — координата C.

1. а) AC < BC: |x| < |x − 6|. Точка C ближе к A, чем к B, поэтому x < 3. Это все точки прямой, лежащие со стороны A от середины AB, не включая середину.
2. б) AC + CB = 8: |x| + |x − 6| = 8. Если C между A и B, сумма равна 6, поэтому решения там нет. Вне отрезка сумма равна 6 плюс удвоенное расстояние от ближайшего конца; получаем по 1 единице за пределами отрезка. Значит, C лежит на продолжении за A так, что AC = 1, либо за B так, что BC = 1.
3. в) CB − AC = 4: |x − 6| − |x| = 4. При x ≤ 0 разность равна 6, при 0 ≤ x ≤ 6 она равна 6 − 2x, а при x ≥ 6 равна −6. Внутри отрезка 6 − 2x = 4, откуда x = 1. Значит, C находится между A и B, причём AC = 1.
4. г) AC = 2CB: |x| = 2|x − 6|. Возведение в квадрат даёт x² = 4(x − 6)², откуда x = 4 или x = 12. Первое положение — между A и B, с AC = 4 и CB = 2; второе — за B, с BC = 6 и AC = 12.

Ответ: а) все точки левее середины AB; б) две точки, по одной единице за A и за B; в) точка между A и B на расстоянии 1 от A; г) две точки с координатами 4 и 12 при A = 0, B = 6.